Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Toạ độ hoá hình đã cho.

Lời giải

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(IB'\). Khi đó, ta có \(d\left( {AJ,B'I} \right) \le AK\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot IB'}\\{AK \bot AJ}\end{array}} \right.\).

Chuẩn hoá độ dài cạnh hình lập phương bằng 1, chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Có \(A\left( {0;0;0} \right),B'\left( {1;0;1} \right),I\left( {0;\frac{1}{2};1} \right),J\left( {1,1,m} \right)\).

Do \(K\) nằm trên \(IB'\) nên gọi toạ độ điểm \(K\) là \(K\left( {1 - 2t;t;1} \right)\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Do

\(AK \bot IB' \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IB'} = 0\) nên \(2\left( {1 - 2t} \right) - \left( { - 1} \right)\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow K\left( {\frac{1}{5};\frac{2}{5};1} \right)\).

Do \(AJ \bot AK\) nên

\(\overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AK} = 0 \Rightarrow 1.\frac{1}{5} + 1.\frac{2}{5} + m.1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{5} \Rightarrow J\left( {1;1;\frac{{ - 3}}{5}} \right)\).

Khi đó \(\frac{{JC}}{{JC'}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{8}{5}}} = \frac{3}{8}\).