Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có đường chéo \(AC' = 2a\sqrt 3 ,\left( {a > 0} \right)\).

16/22

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) bằng \(2a\sqrt 3 \);

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A\) và các tia sau đây trùng nhau: \(Ox \equiv AB\), \(Oy \equiv AD\), \(Oz \equiv AA'\). Khi đó, điểm \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(C'\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Biết \(I\) là điểm cách đều 8 đỉnh của hình lập phương đã cho và \(J\), \(K\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(A'ABB'\), \(A'ADD'\). Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {IJ} \cdot \overrightarrow {KD} \) là \( - \frac{{\sqrt 2 }}{4}{a^2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A\) và các tia sau đây trùng nhau: \(Ox \equiv AD\), \(Oy \equiv AB\), \(Oz \equiv AA'\) với \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị của trục Oz. Gọi \(M \in \left( {A'B'C'D'} \right)\) thỏa \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) ngắn nhất. Khi đó: \(\overrightarrow {OM} - \vec k = \left( {a;a;2a - 1} \right)\).

Giải thích

a) Ta có \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = 2a\sqrt 3 \).

Chọn: ĐÚNG

b) Vì \(C'C \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\) nên hình chiếu của \(C'\) là \(C\).

Chọn: ĐÚNG

c) Độ dài cạnh hình lập phương bằng \(2a\). Thiết lập tọa độ ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;2a;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2a} \right)\), \(C\left( {2a;2a;0} \right)\), \(C'\left( {2a;2a;2a} \right)\).

Vì \(I\) là điểm cách đều 8 đỉnh của hình lập phương đã cho nên \(I\) là tâm của hình lập phương, tức \(I\) là trung điểm của đường chéo \(AC'\), suy ra \(I\left( {a;a;a} \right)\).

Vì \(J\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(A'ABB'\) nên \(J\left( {a;0;a} \right)\).

Vì \(K\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(A'ADD'\) nên \(K\left( {0;a;a} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {IJ} = \left( {0; - a;0} \right)\) và \(\overrightarrow {KD} = \left( {0;a; - a} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {IJ} \cdot \overrightarrow {KD} = - {a^2}\).

Chọn: SAI

d) Tổng vectơ bằng \(4\overrightarrow {MG} \) với \(G\left( {a;a;0} \right)\) là tâm hình vuông đáy \(ABCD\). Độ dài ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên đáy trên \( \Rightarrow M\left( {a;a;2a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} - \vec k = \left( {a;a;2a - 1} \right)\).

Chọn: ĐÚNG

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có đường chéo \(AC' = 2a\sqrt 3 ,\left( {a &gt; 0} \right)\).

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có đường chéo \(AC' = 2a\sqrt 3 ,\left( {a > 0} \right)\).