Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz có

\(A\) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((Oxy)\)là một điểm thuộc tia \(Ox\), suy ra \(A\left( {a;0;c} \right)\,\,\left( {a \ge 0} \right)\).

Giả sử \(B\left( {x;y;z} \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {x - a;\,y;\,z - c} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) suy ra \(x = a\,;\,z = c;\,y > 0 \Rightarrow \,B\left( {a;y;c} \right)\,\left( {y > 0} \right)\)

\(AB = 10\, \Rightarrow \,y = 10\, \Rightarrow \,B\left( {a;10;c} \right)\).

\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\, \Rightarrow \,\frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\,\overrightarrow k } \right|}}{{OA}} = \,\frac{1}{3}\, \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} = \,\frac{1}{3} \Rightarrow 9{c^2} = {a^2} + {c^2} \Rightarrow {a^2} = 8{c^2}\) (1)

\(\sin \beta = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \,\frac{{\left| {\overrightarrow {OB} .\,\overrightarrow k } \right|}}{{OB}} = \,\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\, \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 100 + {c^2}} }} = \,\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow 10{c^2} = {a^2} + {c^2} + 100 \Rightarrow 9{c^2} = {a^2} + 100\) (2)

Từ (1) và (2) ta được \({c^2} = 100 \Rightarrow c = \pm 10;\,a = 20\sqrt 2 \).

Do đó: \[\left[ \begin{array}{l}A\left( {20\sqrt 2 ;\,0;\,10} \right);\,\,B\left( {20\sqrt 2 ;\,10;\,10} \right)\\A\left( {20\sqrt 2 ;\,0;\, - 10} \right);\,\,B\left( {20\sqrt 2 ;\,10;\, - 10} \right)\end{array} \right.\].

a) Điểm \(A\) có cao độ bằng \(10\) là sai.

b) Điểm \(B\) có hoành độ bằng \(2\sqrt 2 \) là sai.

c) Tọa độ của \(\overrightarrow {OA} \) là \(\left( {20\sqrt 2 ;0;10} \right)\) là sai.

d) Tọa độ của \(\overrightarrow {OB} \) là \(\left( {10\sqrt 2 ;10;10} \right)\) là sai.