Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz, các vectơ i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và có độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 kilômét. Máy bay bắt đầu quá trìn
14/22
Trong không gian cho hệ trục tọa độ \[Oxyz\], các vectơ \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \[Ox,\,Oy,\,Oz\] và có độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 kilômét. Máy bay bắt đầu quá trình hạ cánh tại điểm \[A\left( {3;3;4} \right)\] ở thời điểm ban đầu và chuyển động thẳng đều hướng về vị trí \[B\left( {3;0;0} \right)\] trên đường băng. Tại gốc tọa độ \[O\] sân bay thiết lập một trạm radar cảnh báo thiên tai có vùng phủ sóng được mô phỏng bởi một mặt cầu \[\left( S \right)\] bán kính \[R = 5\]km. Trong quá trình hạ cánh, máy bay phải xuyên qua một lớp mây dày đặc được mô phỏng bởi mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua ba điểm \[M\left( {5;0;0} \right),N\left( {0;10;0} \right)\] và \[P\left( {0;0;10} \right)\]. Gọi \[C\] là vị trí máy bay bắt đầu xuyên qua đám mây.
Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] mô phỏng lớp mây là \[2x + y + z - 10 = 0\].
Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] mô phỏng vùng phủ sóng của radar là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
Tại vị trí điểm \[C\], máy bay không nằm trong vùng phủ sóng hiệu quả của radar.
Tổng độ dài quãng đường máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng của radar nhỏ hơn \[4km\].
a) Đúng. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] mô phỏng lớp mây là \[\frac{x}{5} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{10}} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + z - 10 = 0\].
b) Đúng. Mặt cầu \[\left( S \right)\] mô phỏng vùng phủ sóng của radar là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
c) Sai. Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 4} \right)\]
Phương trình đường thẳng \[AB\] mô tả đường bay của máy bay là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3\,\,\,}\\{y = - 3t}\\{z = - 4t}\end{array}} \right.\].
Gọi \[C\left( {3; - 3t; - 4t} \right) = AB \cap \left( \alpha \right)\]. Do \[C \in \left( \alpha \right)\] nên ta có
\[2.3 - 3t - 4t - 10 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{7} \Rightarrow C\left( {3;\frac{{12}}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\].
Ta có: \[OC = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16}}{7}} \right)}^2}} = \frac{{29}}{7} < R\] nên điểm \[C\] nằm trong vùng phủ sóng hiệu quả của radar.
d) Đúng. Gọi \[K\left( {3; - 3k; - 4k} \right) = AB \cap \left( S \right)\].
Do \[K \in \left( S \right)\] nên ta có \[{3^2} + {\left( { - 3k} \right)^2} + {\left( { - 4k} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{4}{5}}\\{k = - \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}\left( {3; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)}\\{{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)}\end{array}} \right.\].
Dựa vào tọa độ của \[A,B\] suy ra \[{K_2}\left( {3;\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5}} \right)\] là điểm bắt đầu khi máy bay đi vào vùng phủ sóng. Ta có: \[\overrightarrow {{K_2}B} = \left( {0; - \frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right) \Rightarrow {K_2}B = 4\].
Vậy quãng đường mà máy bay di chuyển trong vùng phủ sóng là 4km.