Trong không gian, cho hai mặt cầu S1: {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\

33/235

Trong không gian, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\). Gọi \(A\) là điểm trên mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),B\) là điểm trên mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) sao cho \(AB = 6\). Gọi \(M\) là điểm có tọa độ \(M\left( {1;2;2} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2}\) là:

77.

\(47 + 6\sqrt {22} \).

89.

\(47 + 4\sqrt {22} \).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp vectơ.

Lời giải

Ta có: \(T = M{A^2} + M{B^2} = {(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} )^2} + {(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )^2} = 2M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + O{A^2} + O{B^2}\)

Lại có: \({(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} )^2} = O{A^2} + O{B^2} + 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 2O{A^2} + 2O{B^2} - {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} )^2}\)

\({(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} )^2} = 2R_1^2 + 2R_2^2 - A{B^2} = {2.2^2} + {2.5^2} - {6^2} = 22\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {22} \)

Khi đó:

\(T = 2M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + O{A^2} + O{B^2} \le 2M{O^2} + 2MO\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| + R_1^2 + R_2^2\)

\(T \le {2.3^2} + 2.3.\sqrt {22} + {2^2} + {5^2} = 47 + 6\sqrt {22} \)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(T\) là \(47 + 6\sqrt {22} \).