Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Tìm hình chiếu của đường thẳng trên

45/50

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x=1+2ty=−tz=2+t và mặt phẳng P:x+2y+1=0. Tìm hình chiếu của đường thẳng d trên P.

x=195+2ty=−25−tz=t.

x=195+2ty=−125−tz=1+t

x=35+2ty=−45−tz=2+t.

x=15+2ty=−25−tz=1+t.

Giải thích

Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương u→=2;−1;1 và mặt phẳng P có véc-tơ pháp tuyến là n→=1;2;0.

Ta có: u→.n→=0⇒d//P.

Do đó, nếu d' là hình chiếu của d trên P thì d'//d.

Gọi M' là hình chiếu của M1;0;2 trên P⇒M'∈d'.

Gọi Δ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P⇒M'=Δ∩P.

Vì Δ⊥P nên Δ có một véc-tơ chỉ phương là u→=nP→=1;2;0.

Phương trình đường thẳng Δ đi qua M1;0;2 và có véc-tơ chỉ phương u→=1;2;0 là

Δ:x=1+ty=2tz=2.

M'=Δ∩P⇒ tọa độ điểm M' thỏa mãn hệ:

x=1+ty=2tz=2x+2y+1=0⇔x=1+ty=2tz=21+t+2.2t+1=0⇔x=35y=−45z=2t=−25⇒M'35;−45;2.

Hình chiếu d' song song với d và đi qua M'35;−45;2 có phương trình là x=35+2ty=−45−tz=2+t.

Chọn đáp án C.