Góc giữa IJ và SA bằng 90°. (ảnh 1)

a) Ta có IJ // SB nên (IJ, SA) = (SB, SA) = \(\widehat {ASB} = 60^\circ \).

b) Ta có OJ là đường trung bình của DBCD nên OJ // CD Þ (IJ, CD) = (IJ, OJ).

Xét DIOJ có \(IJ = \frac{{SB}}{2} = \frac{a}{2};OJ = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2};OI = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}\).

Vậy DIOJ đều nên góc giữa IJ và CD bằng (IJ, OJ) = \(\widehat {IJO} = 60^\circ \).

c) Ta có OI // SA nên (BI, SA) = (BI, OI)

Trong DIOB, ta có \(\cos \widehat {OIB} = \frac{{B{I^2} + I{O^2} - B{O^2}}}{{2.BI.OI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \left( {BI,SA} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

d) Kẻ GK // SB, K Î BC. Khi đó góc giữa DG và SB chính là góc giữa DG và GK.

DJGK đồng dạng DJSB nên ta có \(\frac{{GK}}{{SB}} = \frac{{JK}}{{JB}} = \frac{{JG}}{{JS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GK = \frac{1}{3}a;JK = \frac{1}{3}JB = \frac{1}{3}.\frac{a}{2} = \frac{a}{6}\).

Do đó CK = CJ + JK = \(\frac{a}{2} + \frac{a}{6} = \frac{{2a}}{3}\).

Mà \(DK = \sqrt {D{C^2} + C{K^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}\).

Áp dụng định lí cosin trong DBDI ta có

\(\cos \widehat {DBI} = \frac{{B{I^2} + B{D^2} - D{I^2}}}{{2.DB.BI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí cosin trong DBDG có

\(DG = \sqrt {B{D^2} + B{G^2} - BD.BG.\cos \widehat {DBG}} \)\( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - 2.a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = a\).

Áp dụng định lí cosin trong DKDG, ta có

\(\cos \widehat {DGK} = \frac{{G{D^2} + G{K^2} - D{K^2}}}{{2GD.GK}} = \frac{{{a^2} + {{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt {13} }}{3}} \right)}^2}}}{{2.a.\frac{a}{3}}} = - \frac{1}{2}\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng DG và GK bằng 60°.

Do đó cosin của góc giữa DG và SB bằng \(\frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d?