a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

$Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Khi đó: (ảnh 1)$

\(AN,BN\) lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) nên \(NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\Delta NAB\) cân tại \(N\) và \(MN \bot AB\).

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\). Ta có:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đặt \(\overrightarrow {AB} = a,\overrightarrow {AC} = b,\overrightarrow {AD} = c\).

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c\)

\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \vec a + \vec b\)

\(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} = ( - \vec a + \vec b)\left( { - \frac{1}{2}\vec a + \frac{1}{2}\vec b + \frac{1}{2}\vec c} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c - \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} + \vec b \cdot \vec c} \right)\)

Do a→⋅b→=a→⋅c→=b→⋅c→=a2⋅cos60°=a22

Suy ra \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} - \frac{1}{2}{{\vec a}^2} + {{\vec a}^2} + \frac{1}{2}{{\vec a}^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(MN\) và \(BC\).

Ta có cosφ=|MN→⋅BC→||MN→|⋅|BC→|=a22a22⋅a=22. Suy ra φ=45°.

Trong không gian cho điểm \(A\) và đường thẳng \(d\). Có bao nhiêu đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\)