Trong không gian, cho các điểm A(3; -1; 4), B(-2; 3; 3). Các điểm M, N thay đổi sao cho M luôn thuộc mặt phẳng (Oxy) và vectơ MN = (-2; -2; 1).

a. Sai

Ta có \[A(3; - 1;4)\] có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng \[{\rm{(Ox}}y)\]là\[{A_1}(3, - 1,0)\] và\[{A_1}\] là trung điểm của \[AA'\]. Suy ra tọa độ điểm đối xứng của \[A(3; - 1;4)\]qua mặt phẳng \[{\rm{(Ox}}y)\]là \[A'(3; - 1; - 4)\].

b. Đúng

Ta có \[\overrightarrow {MN\,}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\] nên \[MN = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} \]

Khi đó \[AM + MN + NB = AM + NB + 3\]. Bài toán trở thành tìm \[AM + NB\] nhỏ nhất với \[M \in ({\rm{Ox}}y)\]

Do vecto \[\overrightarrow {MN\,} ( - 2; - 2;1)\]cố định.

Dựng \[\overrightarrow {BD\,}  = \overrightarrow {NM\,} \]tìm được \[D(0,5,2)\]cố định, tứ giác \[MNBD\] là hình bình hành suy ra \[NB = MD\]

+)\[AM = A'M\] nên \[AM + NB = A'M + MD \ge A'D\]. Dấu bằng xảy ra khi \[A',M,D\]thẳng hàng tức là \[M = (\,Oxy) \cap A'D\]

+) \[A'D = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(5 + 1)}^2} + {{(2 + 4)}^2}} \, = 9\]

+ Giá trị nhỏ nhất \[AM + NB = 9\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[AM + MN + NB = 9 + 3 = 12\]

c. Đúng

\[C\] là điểm thuộc mặt phẳng \[{\rm{(Ox}}y)\]nên gọi \[C(x;y;0)\]

Ta có

\[\overrightarrow {AB\,}  = ( - 5;4; - 1);\overrightarrow {AC\,}  = (x - 3;y + 1; - 4)\]

Do  thẳng hàng nên ta có \[\overrightarrow {AC\,}  = k\overrightarrow {AB\,}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x =  - 5k\\y + 1 = 4k\\ - 4 =  - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 17\\y = 15\\k = 4\end{array} \right.\,hay\,C( - 17;15;0)\]

Khi đó \[\overrightarrow {CA\,}  = (20; - 16;4) = 4(5; - 4;1),\, \Leftrightarrow \overrightarrow {CB\,} (15; - 12;3) = 3(5; - 4;1)\]

Vậy \[\overrightarrow {CA\,}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {CB\,} \]

d. Sai

Ta có \[D(0,5,2) \Rightarrow \,a = 0,\,b = 5,c = 2\]nên \[a + \,b + c = 7\].