Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2,3,3,2 tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

Giải thích

Gọi \(A,B\) là tâm mặt cầu bán kính bằng \(2;C,D\) là tâm mặt cầu bán kính bằng \(3;I\) là tâm mặt cầu nhỏ nhất có bán kính \(x\) tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu trên.

Mặt cầu \(\left( I \right)\) tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm \(A,B,C,D\) nên \(IA = IB = x + 2,IC = ID = x + 3\).

Gọi \(\left( P \right),\left( Q \right)\) lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn \(AB\) và \(CD\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IA = IB \Rightarrow I \in \left( P \right)}\\{IC = ID \Rightarrow I \in \left( Q \right)}\end{array} \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\,\,\left( 1 \right)} \right.\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm cạnh \(AB,CD\).

Tứ diện \(ABCD\) có \(DA = DB = CA = CB = 5\) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\), suy ra \(MN = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(I \in MN\)

Tam giác \(IAM\) có \(IM = \sqrt {I{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{(x + 2)}^2} - 4} \).

Tam giác \(CIN\) có \(IN = \sqrt {I{C^2} - C{N^2}}  = \sqrt {{{(x + 3)}^2} - 9} \).

Tam giác \(AMN\) có \(NM = \sqrt {N{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {12} \).

Suy ra \(\sqrt {{{(x + 3)}^2} - 9}  + \sqrt {{{(x + 2)}^2} - 4}  = \sqrt {12}  \Rightarrow x = \frac{6}{{11}}\).

 Chọn D