Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2,3,3,2 tiếp xúc ngoài với nhau

Gọi A, B là tâm mặt cầu bán kính bằng 2 ; C, D là tâm mặt cầu bán kính bằng 3 ; I là tâm mặt cầu nhỏ nhất có bán kính \(x\) tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu trên.

Mặt cầu \((I)\) tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A, B, C, D nên \(IA = IB = x + 2,IC = ID = x + 3\).

Gọi \((P),(Q)\) lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và CD.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IA = IB \Rightarrow I \in (P)}\\{IC = ID \Rightarrow I \in (Q)}\end{array} \Rightarrow I \in (P) \cap (Q)\,\,(1).} \right.\)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB, CD.

Tứ diện ABCD có \(DA = DB = CA = CB = 5\) suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và CD, suy ra \(MN = (P) \cap (Q)\,\,(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(I \in MN\)

Tam giác IAM có \(IM = \sqrt {I{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{(x + 2)}^2} - 4} \).

Tam giác CIN có \(IN = \sqrt {I{C^2} - C{N^2}}  = \sqrt {{{(x + 3)}^2} - 9} \).

Tam giác AMN có \(NM = \sqrt {N{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {12} \).

Suy ra \(\sqrt {{{(x + 3)}^2} - 9}  + \sqrt {{{(x + 2)}^2} - 4}  = \sqrt {12}  \Rightarrow x = \frac{6}{{11}}\).