Trong khôn gian với hệ trục tọa độ Trong khôn gian với hệ trục tọa

43/50

Trong khôn gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+(y-4)2+z2=5. Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11π

A(0;2;0)A(0;6;0)

A(0;0;0)A(0;8;0)

A(0;0;0)A(0;6;0)

A(0;2;0)A(0;8;0)

Giải thích

Đáp án A.

Mặt cầu (S) có tâm O(0;4;0) và bán kính R=5.Điểm A∈Oy→A(0;b;0) . Khi đó ba mặt phẳng theo giả thiết đi qua A và có phương trình tổng quát lần lượt là α1:x=0,α2:y-b=0 và α3:z=0 .

Nhận thấy dI;α1=dI;α2=dI;α3=0 nên mặt cầu (S) cắt các mặt phẳng α1,α3 theo giao tuyến là đường tròn lớn có tâm I, bán kính R=5. Tổng diện tích của hai hình tròn đó là S1+S3=2πR2=10π.

Suy ra mặt cầu (S) cắt α2 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là S3=11π-S1+S2=11π-10π=π. Bán kính đường tròn này là r=S3π=1.

→dI,α3=R2-r2=2=4-b⇔b=2b=6 . Vậy A0;2;0A(0;6;0).