a) Sai: Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:x - y - 4 = 0\) là \({\overrightarrow n _d} = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Vì \({d_1}\) song với đường thẳng \(d\) nên chọn véctơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \({\overrightarrow n _{{d_1}}} = {\overrightarrow n _d} = \left( {1\,;\, - 1} \right)\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(M\left( { - 2\,;\,3} \right)\) và song song với đường thẳng \(d\) có dạng: \(1\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(x - y + 5 = 0\).

b) Đúng: Ta có \({\overrightarrow n _d} = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Vì \({d_2}\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên chọn một véctơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là \({\overrightarrow u _{{d_2}}} = {\overrightarrow n _d} = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\,3} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).

c) Sai: Gọi \({\overrightarrow n _\Delta } = \left( {a\,;\,b} \right)\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 2\,;\,3} \right)\) có dạng: \(a\left( {x + 2} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\).

Ta có \[\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_d}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_d}} \right|}} = \frac{{\left| {a.1 + b.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt 2 }}\].

Để đường thẳng tạo với đường vuông \(d\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) thì \[\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Suy ra \[\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left| {a - b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {\left| {a - b} \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow a.b = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\), ta được đường thẳng \(0.\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(y - 3 = 0\).

Với \(b = 0\), chọn \(a = 1\), ta được đường thẳng \(1.\left( {x + 2} \right) + 0.\left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(x + 2 = 0\).

Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.

d) Sai:

$Trong mặt phẳng \((Oxy)\), cho điểm \(M\left( { - 2\,;\,3} \right)\) và đường thẳng \(d:x - y - 4 = 0\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: (ảnh 1)$

Toạ độ giao điểm \(I\left( {x\,;\,y} \right)\)của \(m\) và \(d\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3\,;\, - 1} \right)\).

Lấy điểm \(A\left( {1\,;\,0} \right) \in m\), phương trình đường thẳng \(k\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là: \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\).

Toạ độ giao điểm \(H\left( {x\,;\,y} \right)\)của \(d\) và \(k\) là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 4 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{2}\,;\, - \frac{3}{2}} \right)\].

Gọi \(B\left( {x\,;\,y} \right)\) là điểm sao cho \(H\)là trung điểm của \(AB\), suy ra toạ độ điểm \(B\left( {4\,;\, - 3} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(n\) đối xứng với \(m\) qua \(d\) là đường thẳng \(IB\).

Ta có \(\overrightarrow {IB} \left( {1\,;\, - 2} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(n\)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 3 - 2t\end{array} \right.\).

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?