Trong kế hoạch khai thác tuyến ca nô cao tốc phục vụ du lịch sinh thái trên vùng lòng hồ Thủy điện Sơn La (từ bến Mường La đi Quỳnh Nhai) có chiều dài 100 km.

Đáp án: 50.

Chiều dài tuyến là \(100\) km, vận tốc khai thác là \(v\) km/h, nên thời gian một chuyến là:

 \(t = \frac{{100}}{v}\) (giờ).

Doanh thu

Số khách: \(N(v) = \frac{v}{5} + 20\).

Giá vé bình quân \(500000\) đồng/khách nên doanh thu:

\(R(v) = 500000\left( {\frac{v}{5} + 20} \right) = 100000v + 10000000\).

Chi phí điện

Công suất: \(P(v) = 10{v^3}\) (W) \( = 0,01{v^3}\) (kW).

Điện lượng tiêu thụ: \(A = P(v)t = 0,01{v^3} \cdot \frac{{100}}{v} = {v^2}\) (kWh).

Tiền điện: \({C_1}(v) = 2000{v^2}\).

Chi phí vận hành cố định: \({C_2}(v) = 2500000 \cdot \frac{{100}}{v} = \frac{{250000000}}{v}\).

Lợi nhuận ròng: \(L(v) = R(v) - {C_1}(v) - {C_2}(v)\)\( = 100000v + 10000000 - 2000{v^2} - \frac{{250000000}}{v}\).

Xét đạo hàm: \(L'(v) = 100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}}\).

Giải \(L'(v) = 0\), hay \(100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} - 25{v^2} - 62500 = 0\)\( \Leftrightarrow v = 50\).

Lại có \(L'(v) > 0\) khi \(v < 50\) và \(L'(v) < 0\) khi \(v > 50\), nên lợi nhuận lớn nhất tại \(v = 50{\rm{ km/h}}\).