Trong hình bên dưới là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:
18/22
Trong hình bên dưới là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:
Vẽ hình lục giác đều \[ABCDEF\] tâm \[O\] và có cạnh bằng\[4{\rm{ cm;}}\]
Vẽ parabol \(({C_1})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OA,OB\] lần lượt tại \[A\] và \[B;\]
Tương tự vẽ parabol \(({C_2})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OB,OC\] lần lượt tại \[B\] và \[C;\] parabol \(({C_3})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OC,OD\] lần lượt tại \[C\] và \[D;...;\] parabol \(({C_6})\) tiếp xúc với các đường thẳng \[OF,OA\] lần lượt tại \[F\] và \[A.\]
Hình phẳng \((H)\) được giới hạn bởi sáu parabol \(({C_1}),({C_2}),({C_3}),({C_4}),({C_5}),({C_6})\) (phần tô đậm) là phần sẽ được dát vàng. Hỏi phần dát vàng này có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?
Đáp án: 13,9.
Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có \(\tan \widehat {FOA} = \tan 60^\circ = \sqrt 3 \Rightarrow OA:y = x\sqrt 3 \Rightarrow y(2) = 2\sqrt 3 .\)
Giả sử \(({C_1}):y = a{x^2} + b \Rightarrow y' = 2ax.\)
Vì \(({C_1})\) tiếp xúc với \(OA\) tại \(A\) nên \(y'(2) = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2a.2 = \sqrt 3 \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + b\)
Mặt khác \(A(2;2\sqrt 3 ) \in ({C_1}) \Rightarrow 2\sqrt 3 = \sqrt 3 + b \Rightarrow b = \sqrt 3 \Rightarrow ({C_1}):y = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 .\)
Diện tích phần giới hạn bởi \(({C_1})\) với hai đường thẳng \(OA,OB\) bằng
\({S_1} = 2\int\limits_0^2 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 - x\sqrt 3 } \right){\rm{d}}x} = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + x\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right]_0^2 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Cách khác, áp dụng công thức tính diện tích cửa parabol có đáy \(a\) và chiều cao \(b\) là \(S = \frac{2}{3}ab.\)
\({S_1} = {S_{\Delta OAB}} - {S_{({C_1})}} = 4\sqrt 3 - \frac{2}{3}.4.\sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy diện tích cần tìm là \(S = 6{S_1} = 6.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3 = \)13,9 (cm2).