Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: km), mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên. Một trạm ra-đa đặt tại gốc O với bán kính quét tối đa R = 120 km. Một vật thể bắt đầu ch

16/22

Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: km), mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên. Một trạm ra-đa đặt tại gốc \(O\) với bán kính quét tối đa \(R = 120\;km\). Một vật thể bắt đầu chuyển động từ vị trí \(A\left( {6;8;0} \right)\) với vận tốc tại thời điểm t giây tính từ khi xuất phát là \(v\left( t \right) = 20 + 0,6t - 0,0015{t^2}\;\left( {m/s} \right)\) và bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\). Sau một khoảng thời gian chưa đầy 5 phút, vật thể đến vị trí \(B\) có độ cao \(8\;\left( {km} \right)\).

Phương trình mặt cầu giới hạn vùng giám sát của ra-đa là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\;400\).

ĐúngSai

Phương trình đường thẳng AB là \(\frac{{x - 6}}{2} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{2}\).

ĐúngSai

Quãng đường vật thể di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(12\;km\).

ĐúngSai

Sau khi đến vị trí \(B\), vật thể chuyển động thẳng đều theo hướng thoát khỏi vùng giám sát của ra-đa nhanh nhất (giữ nguyên vận tốc tại thời điểm \(B\)). Khi đó thời gian di chuyển của vật thể từ lúc xuất phát cho đến khi bắt đầu thoát khỏi vùng giám sát hơn 25 phút.

ĐúngSai

Giải thích

Mặt cầu có tâm \(O\) và bán kính \(R = 120\) nên có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {120^2} = 14\;400\).

Suy ra a) đúng.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {6;8;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\) nên có phương trình chính tắc\(\frac{{x - 6}}{2} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{2}\). Suy ra b) đúng.

Với vị trí \(B\) có độ cao \({z_B} = 8\), suy ra \(B\left( {14;12;8} \right)\) và \(AB = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {8^2}} = 12\). Suy ra c) đúng.

Gọi \({t_1}\;\left( s \right)\;\left( {{t_1} \le 300} \right)\) là thời gian vật thể đi từ \(A\) đến \(B\), ta có phương trình \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {20 + 0,6t - 0,0015{t^2}} \right)} dt = 12\;000\)

\( \Leftrightarrow 20t + 0,3{t^2} - 0,0005{t^3}|_0^{{t_1}} = 12\;000\)\( \Leftrightarrow 20{t_1} + 0,3t_1^2 - 0,0005t_1^3 = 12\;000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 200\;(l)\\{t_1} = 600\;(l)\\{t_1} = 200\;(n)\end{array} \right.\)

Dễ thấy, \(A\) và \(B\) đều nằm trong mặt cầu (do \(OA = 10 < 120;\;OB = 2\sqrt {101} < 120\)). Khi đến \(B\) mà muốn thoát nhanh nhất thì sẽ đi đến \(C\) với \(C\) là giao điểm của \(OB\) và mặt cầu.