Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, CD = 2AB. Biết C(4;7), D(2;6) và điểm E(8;3) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm A(a;b) với a, b ∈ N.

22/22

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\) và \(CD\), \(CD = 2AB\). Biết \(C\left( {4;7} \right)\), \(D\left( {2;6} \right)\) và điểm \(E\left( {8;3} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo hình thang. Tọa độ điểm \(A\left( {a;b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB{\rm{//}}CD\) và \(CD = 2AB\).

Giao điểm \(E\) của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) chia các đường chéo theo tỉ lệ cạnh đáy:

\(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {EC} = - 2\overrightarrow {EA} \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \).

Biết \(C\left( {4;7} \right)\) và \(E\left( {8;3} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {EC} = \left( {4 - 8;7 - 3} \right) = \left( { - 4;4} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\left( { - 4;4} \right) = \left( { - 2;2} \right)\).

Với điểm \(A\left( {a;b} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {8 - a;3 - b} \right)\). Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}8 - a = - 2\\3 - b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 1\end{array} \right.\).

Thỏa mãn \(a,b \in \mathbb{N}\).

Tính giá trị biểu thức: \(T = {10^2} + {1^2} = 100 + 1 = 101\).

Đáp án điền: 101.