Trong hệ trục tọa độ Oxy cho biết parabol ( P ) : y = ax^ 2 đi qua điểm M ( 1 ; 2 ) .

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào \(\left( {\rm{P}} \right)\), ta được: \[2 = a{.1^2}\]suy ra: \(a = 2\)

Vậy \(a = 2\).

b) Vì \[A\] và \[B\] thuộc \(\left( {\rm{P}} \right)\) nên \({y_1} = 2x_1^2;{y_2} = 2x_2^2\).

Mà \({y_1} + {y_2} = 10\) nên ta có: \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 10\).

                                  \(2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2 - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                               \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 1\) vào, ta được:

                     \({2.1^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                          \(4{x_1}{x_2} = 2 - 10\)

                            \(4{x_1}{x_2} =  - 8\)

                             \({x_1}{x_2} =  - 2\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({x_1}{x_2} =  - 2\) có \({1^2} > 4\).(-2) nên \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x = 2\)

Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =  - 1;{x_2} = 2\)

Suy ra \({y_1} = 2 \cdot {( - 1)^2} = 2;{y_2} = 2 \cdot {2^2} = 8\)

Vậy \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;8} \right)\).