Trong hệ trục Oxy đường biên của một hòn đảo được mô hình hoá bởi hàm số f(x) = (−x^2 + 10x − 12)/x (x > 0) (đơn vị mỗi trục là 100 (m)). Ban quản lí hòn đảo muốn quây một vùng

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong hệ trục $Oxy$ đường biên của một hòn đảo được mô hình hoá bởi hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)$ (đơn vị mỗi trục là $100\,(m)$). Ban quản lí hòn đảo muốn quây một vùng tam giác an toán để người dân có thể vui chơi và tắm biển ở khu vực đó. Đặt cố định một điểm ngoài biển toạ độ $I\,\left( {2\,;\,8} \right)$ sau đó căng hai tấm lưới bảo vệ $IA\,,\,IB$ với hai điểm $A\,,\,B$$\left( {{x_A} > {x_B} > 0} \right)$ nằm trên đường biên và luôn thoả mãn $AB{\rm{//}}Ox$.

$Chọn C Ta có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx = \frac{{33\pi }}{5}} $. (ảnh 1)$

Đỉnh cao nhất của hòn đảo (điểm cực đại của đồ thị hàm số) cách $I$ một khoảng $514\,\,(m)$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

ĐúngSai

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}$ là điểm $M\,\left( {0\,;\,10} \right)$.

ĐúngSai

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm $I$ là $510\,\,(m)$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

ĐúngSai

Nếu điều chỉnh dây phao sao cho khoảng cách từ trạm $I$ đến dây phao $AB$ bằng đúng chiều dài dây phao $AB$ thì diện tích vùng an toàn $\Delta \,IAB$ là $605000\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

ĐúngSai

Giải thích

a) ĐÚNG

Theo bài $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\,\,\,\,(x > 0)$$ \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\, = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

$Chọn C Ta có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx = \frac{{33\pi }}{5}} $. (ảnh 2)$

Đỉnh cao nhất của hòn đảo là điểm $D\,\,\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 - 4\sqrt 3 } \right)$ $I\,\left( {2\,;\,8} \right)$

Khi đó $DI = \sqrt {{{\left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 4\sqrt 3 } \right)}^2}} \approx 5,14$

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên khoảng cách thực tế từ $D$ đến $I$ là $DI \approx 514\,\,\,(m)$. Vậy (a) đúng.

b) ĐÚNG

Đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}$ có tiệm cận đứng là $x = 0$, và tiệm cận xiên là $y = - x + 10$

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}$ là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và xiên, nên tâm $M\,\left( {0\,;\,10} \right)$. Vậy (b) đúng.

c) SAI

Quãng đường ngắn nhất từ hòn đảo đến điểm $I$ là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm $N\,\left( {x\,;\,\frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}} \right)$ nằm trên đồ thị hàm sô $f(x)$ với điểm $I$. Ta có $I{N^2} = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}$. Đặt $g(x) = \,{\left( {x - 2\,} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - {x^2} + 2x - 12}}{x}} \right)^2}$.

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $g(x)$ với $x > 0$

$ \Rightarrow g'(x) = \,\frac{{4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 8{x^3} + 48x - 288 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 3,13\\x \approx - 2,80\,\,\,(Loai)\end{array} \right.$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{x > 0} g(x) = g(3,13) \approx 5,0908$

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên khoảng cách thực tế $IN \approx 509\,\,\left( m \right)$. Vậy (c) Sai.

d) ĐÚNG

Vì $AB{\rm{//}}Ox$, nên $A\,,\,B$ có cùng tung độ $ \Rightarrow {y_A} = {y_B} = {y_0}$. Nên dây phao $AB$ nằm trên đường thẳng $y = {y_0}$, và có ${x_A}\,,\,{x_B}$ là nghiệm của phương trình ${y_0} = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{y_0} - 10} \right)\,x + 12 = 0$

Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A}\, + {x_B} = 10 - {y_0}\\{x_A}\,.\,{x_B} = 12\end{array} \right.$

Chiều dài dây phao $AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4.{x_A}{x_B}} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} $

Khoảng cách từ điểm $I\,\left( {2\,;\,8} \right)$ đến dây phao $AB$ là $h = \left| {{y_I} - {y_0}} \right| = \left| {8 - {y_0}} \right|$

Dựa vào hình vẽ, trạm $I$ nằm cao hơn dây phao $AB\,\,\left( {{y_I} > {y_0}} \right)$, nên $h = 8 - {y_0}$

Theo giả thiết khoảng cách từ điểm $I$ đến $AB$ bằng chiều dài $AB$, nên ta có:

$h = AB \Rightarrow 8 - {y_0} = \sqrt {{{\left( {10 - {y_0}} \right)}^2} - 48} $ (ĐK: $8 - {y_0} \ge 0 \Leftrightarrow {y_0} \le 8$)

$ \Leftrightarrow {\left( {8 - {y_0}} \right)^2} = {\left( {10 - {y_0}} \right)^2} - 48 \Leftrightarrow 64 - 16{y_0} + y_0^2 = 100 - 20\,{y_0} + y_0^2 - 48 \Leftrightarrow {y_0} = - 3$

Vậy độ dài đáy $AB = 8 - {y_0} = 8 - ( - 3) = 11$$ \Rightarrow h = 11\,\,$

Diện tích tam giác $IAB$ là $S = \frac{1}{2}.AB.h = \frac{1}{2}.11.\,11 = \frac{{121}}{2} = 60,5\,\,$(đvdt)

Vì đơn vị mỗi trục toạ độ là $100\,(m)$, nên diện tích vùng an toàn $\Delta \,IAB$ là

$S = 60,5\,\,{\rm{x}}{100^2} = 605000\,\,({m^2})$

Vậy (d) đúng.