Trong hệ trục Oxy , cho parabol (P) : y=x^2 -1 và đường thẳng d: y=5x+m (với là tham số).

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P)  là : x2−1=5x+m⇔x2−5x−m−1=0  (*).

Để đường thẳng d  cắt (P)   tại hai điểm phân biệt A  và B  khi (*) có hai nghiệm phân biệt hay

Δ>0⇔25+4(m+1)>0⇔m>−294.

Ta có hai trường hợp sau :

TH1 : Nếu m=−1  thì  d  cắt (P)  tại hai điểm phân biệt A0;−1  và B5;24  , dễ thấy  OA  không vuông góc với OB  , nên m=−1  loại.

TH2 : Nếu m≠−1,m>−294  thì đường thẳng d   cắt (P)   tại hai điểm phân biệt Ax1;y1  và Bx2;y2 . Khi đó ta có :

OA⊥OB⇔y1x1.y2x2=−1⇔5+mx15+mx2=−1⇔25+5m.x1+x2x1x2+m2x1x2=−1⇔26x1x2+m2+5mx1+x2=0⇔26−1−m+m2+25m=0⇔m2−m−26=0⇔m=1−1052m=1+1052(TM)

Vậy tổng của tất cả các giá trị m để cho đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B  sao cho OA vuông góc với OB là : 1−1052+1+1052=1.