Trong hệ toạ độ Oxy , cho ba điểm A ( 3 ; 4 ) , B ( 2 ; 5 ) , C ( 4 ; 6 ) . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó, diện tích tam giác BCG bằng:

5/49

Trong hệ toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( {2;5} \right),C\left( {4;6} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó, diện tích tam giác \(BCG\) bằng:

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{6}\).

Giải thích

Mệnh đề phủ định củ (ảnh 1)

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3;4} \right)\) có \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(C\) tới đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {4 + 6 - 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}\).

Khi đó, do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên diện tích tam giác \(BCG\) là

\({S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\). Chọn B.