Trong hệ tọa độ Descartes, cho ba điểm  (A(3;4) , (B(2;5), (C(4;6)

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A(3;4)\), nhận

\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1)\) làm vectơ chỉ phương là:

                                   \[1(x - 3) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0.\]

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng AB là:

       \[d(C,AB) = \frac{{|4 + 6 - 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\]

Độ dài \(AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).

Diện tích tam giác ABC là:

  \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} AB \cdot d(C,AB) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}.\]

Do \(G\) là trọng tâm tam giác ABC nên:

                 \[{S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.\]