Trong hệ toạ độ Descartes, cho ba điểm A( {3;4} ),B( {2;5}),C( {4;6} ). Gọi G là trọng tâm tam giác ABCKhi đó, diện tích tam giác \(BCG\) bằng:

3/235

Trong hệ toạ độ Descartes, cho ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( {2;5} \right),C\left( {4;6} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó, diện tích tam giác \(BCG\) bằng:

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{6}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Lời giải

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(C\) tới đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {C;AB} \right) = \frac{{\left| {4 + 6 - 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}\).

Khi đó, do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên diện tích tam giác \(BCG\) là

\({S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).