Trong dự án thiết lập mạng lưới cảm biến cảnh báo lũ quét tại một vùng núi, các kỹ sư lắp đặt hai cảm biến truyền tin cố định tại A ( 2 ; 5 ; − 1 ) và B ( 4 ; 6 ; − 3 ) .

21/22

Trong dự án thiết lập mạng lưới cảm biến cảnh báo lũ quét tại một vùng núi, các kỹ sư lắp đặt hai cảm biến truyền tin cố định tại $A\left( {2;5; - 1} \right)$ và $B\left( {4;6; - 3} \right)$. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ đang dùng, mỗi đơn vị độ dài tương ứng với $10$ mét trên thực tế. Một vùng phủ sóng hình cầu luôn đi qua $A$, $B$ và tiếp xúc với bề mặt của móng bê tông (một tấm bê tông cốt thép toàn khối giúp ổn định thiết bị và chống sụt lún địa chất), được mô tả bởi mặt phẳng \[\left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]. Để truyền dữ liệu về trung tâm, một hệ thống cáp bọc giáp chuyên dụng chống nhiễu được kéo trực tiếp từ trạm quan trắc $O\left( {0;0;0} \right)$ đến điểm tiếp xúc $C$ giữa vùng phủ sóng và mặt phẳng móng bê $\left( P \right)$. Biết tổng chi phí vật tư và nhân công lắp đặt tại địa hình này là $950.000$ đồng/mét. Hãy tính tổng chi phí thấp nhất để hoàn thành việc kết nối cáp này (kết quả tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 12.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3$. Vì $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} $ nên $AB \bot \left( P \right)$.

Ta tính được $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4$ và \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7\]. Gọi $I$ là hình chiếu của \[A\] lên \[\left( P \right)\].

Do \[I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\ = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]

\[ \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Gọi \[E\] là tâm mặt cầu và \[M\] là trung điểm \[AB\], ta có: \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}\].

Với \[C\] là tiếp điểm của mặt cầu và \[\left( P \right)\], \[{R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}\]

\[ \Rightarrow CI = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 7 \].

Vậy tiếp điểm \[C\] chuyển động trên đường tròn tâm \[I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\], bán kính \[2\sqrt 7 \].

$Đáp án: \[29\]. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như hì (ảnh 1)$

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left( P \right)\], suy ra \[OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}\].

Lại có: \[OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}} = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7 \].

Do đó, \[O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}} \] với \[{C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7 - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}\]

\[ \Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149} + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}} \approx 1,2673\] (chục mét).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành việc kết nối cáp là \[1,2673 \times 10 \times 950.000 \approx 12\] (triệu đồng).