Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho tam giác A B C vuông tại A . Trên cạnh B C lấy điểm E sao cho A B = B E . Tia phân giác của góc B cắt cạnh A C tại D . a) Chứng minh Δ A B D = Δ E B D . b) Gọi I là giao điểm của B D và A E . Chứng minh I là trung điểm của A E . c) Gọi K là giao điểm của E D và B A , M là trung điểm của K C . Chứng minh B , D , M thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\(AB = EB\) (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BD\) chung

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta EBI,\) có:

\(AB = BE\) (gt)

\(\widehat {ABI} = \widehat {IBE}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(BI\) chung

Do đó, \(\Delta ABI = \Delta EBI\) (c.g.c)

Suy ra \(AI = IE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(AE.\)

Do đó, \(I\) là trung điểm của \(AE.\)

c) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt) suy ra \(AD = DE\) (hai cạnh tương ứng)

và \(\widehat {DAB} = \widehat {DEB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng).

Nhận thấy, \(\Delta ADK\) vuông tại \(A\) và \(\Delta EDC\) vuông tại \(E\) có:

\(AD = DE\) (cmt)

\(\widehat {ADK} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta ADK = \Delta EDC\) (cgv – gn)

Do đó, \(CE = AK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(KB = KA + AB\); \(CB = CE + EB\)

Mà \(AB = BE\) (gt); \(AK = CE\) (cmt)

Do đó, \(KB = CB\).

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta CMB\) có:

\(KB = CB\) (cmt)

\(KM = CM\) (gt)

\(MB\) chung

Do đó, \(\Delta KMB = \Delta CMB\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {KBM}\) (hai góc tương ứng)

Mà tia \(BM\) nằm giữa hai tia \(BK,BC\) nên \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {KBC}\).

Mặt khác, \(BD\) cũng là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Do đó, ba điểm \(B,D,M\) thẳng hàng.

Trong định lí, phần đã cho biết được gọi là