Trong cuộc thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 có 4 học sinh tham gia với điểm đạt được của các học sinh là các số tự nhiên khác nhau không nhỏ hơn 10 và không lớn hơn 20

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm các học sinh đạt được lần lượt là \(a;\,b;\,c;\,d\,\left( {a < b < c < d} \right)\) và \(a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{N}\)

Ta có số trung vị: \({Q_2} = \frac{{b + c}}{2} = 14 \Rightarrow b + c = 28\)

Mà \(\overline x = 14 \Rightarrow a + b + c + d = 56 \Rightarrow a + d = 28\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < b < c}\\{b + c = 28}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 < b < 14}\\{2b < 28}\end{array}} \right.\) hay \(10 < b < 14\) mà \(b \in \mathbb{N} \Rightarrow b \in \left\{ {11;\,12;\,13} \right\}\)

+ Nếu \(b = 11\) thì \(c = 17\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow a = 10;d = 18\)

Khi đó điểm các em đạt được lần lượt là \(10;\,\,\,11;\,\,\,17;\,\,18\)

+ Nếu \(b = 12\) thì \(c = 16\) mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\end{array} \right.\)  

Khi đó điểm các học sinh đạt được có thể là là: \(10;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,\,17\).

+ Nếu \(b = 13\) thì \(c = 15\), mà \(10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\\a = 12 \Rightarrow d = 16\end{array} \right.\)

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là: \(10;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,18\) hoặc \(11;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,17\) hoặc \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).

Vì khoảng biến thiên bằng \(4\) nên số điểm các em đạt được là: \(12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16\).