Trong cùng một hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;4); B(-3;-1; C(-2;1)) . Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(-3;-1) có phương trình là y = ax + b.

Khi đó: 2a+b=4−3a+b=−1⇔a=1b=2

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua A và B là y=x+2d.

Mà C−2;1 không thuộc đường thẳng (d) vì 1≠−2+2 hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ngoài ra, ta có thể chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng bằng cách chứng minh AB khác BC + AC hoặc BC khác AB + AC hoặc AC khác AB + BC.

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là .

Khoảng cách giữa hai điểm B và C là .

Khoảng cách giữa hai điểm A và C là 

Ta có: BC+AC=5+5>52=AB. Tương tự, ta có BC khác AB + AC và AC khác AB + BC. Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn còn lại).