Trong công viên nước, người ta xây dựng một máng trượt nước dạng một cung tròn. Mô hình hóa trong hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là 1 mét) với điểm đầu máng trượt là A ( 0 ; 0 ; 12 )

Đáp án: 33

Minh họa lại và mở rộng mô hình như hình vẽ như dưới đây

Từ dữ kiện của bài toán ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 5; - 12;7} \right)\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {12; - 7; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {17;5; - 12} \right)\).

Suy ra: \(BA = BC = \sqrt {218} \;;\;AC = \sqrt {458} \). Có \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{B{C^2}}}{{2AH}} = \frac{{B{C^2}}}{{2\sqrt {B{A^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} }} = \frac{{218}}{{2\sqrt {218 - \frac{{458}}{4}} }} = \frac{{218}}{{3\sqrt {46} }}\).

Mặt khác \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 12} \right).\left( { - 7} \right) + 7.\left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} =  - \frac{{11}}{{218}}\).

Hay \(\cos B =  - \frac{{11}}{{218}}\). Suy ra \(B \approx 1,6213\;\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vì cung lớn  có số đo \[2B\] nên cung nhỏ  có số đo là

\(\alpha  = 2\pi  - 2B \approx 2\pi  - 2 \cdot 1,6213\)\(\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vậy máng trượt có độ dài là \(l = \alpha R \approx \left( {2\pi  - 2 \cdot 1,6213} \right).\frac{{218}}{{3\sqrt {46} }} \approx 32,5772\;\left( {\rm{m}} \right) \approx 33\left( {\rm{m}} \right)\).