Trong công viên, có một hồ nước hình bán nguyệt (một nửa đường tròn) đường kính AB = 20 m . Tại A và B người ta dựng hai bức tượng cao lần lượt là 8m và 10m.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với \(A\) là gốc tọa độ. Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ. \(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)

Giải chi tiết:

Gọi vị trí chân máy ảnh trên mặt đất là \({M_0}(x;y;0)\). Do \({M_0}\) nằm trên cung tròn bán kính 10 tâm \(I\) nên:

$\({(x - 10)^2} + {y^2} = 100 \Leftrightarrow {y^2} = 100 - {(x - 10)^2} = 20x - {x^2}\)\((cao1.6m):\)M(x; y; 1.6).

Tính các khoảng cách bình phương:

\(M{A'^2} = {x^2} + {y^2} + {(1.6 - 8)^2} = {x^2} + (20x - {x^2}) + {( - 6.4)^2} = 20x + 40.96\)

\(M{B'^2} = {(x - 20)^2} + {y^2} + {(1.6 - 10)^2} = ({x^2} - 40x + 400) + (20x - {x^2}) + {( - 8.4)^2} = 470.56 - 20x\)

\(A'{B'^2} = {20^2} + 0 + {(10 - 8)^2} = 404\)

Áp dụng định lý hàm số Cosin trong \(\Delta A'MB'\):

\(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)

\(\cos \alpha = \frac{{(20x + 40.96) + (470.56 - 20x) - 404}}{{2\sqrt {20x + 40.96} \cdot \sqrt {470.56 - 20x} }}\)

\(\cos \alpha = \frac{{107.52}}{{2\sqrt {(20x + 40.96)(470.56 - 20x)} }}\)

Để góc \(\alpha \) lớn nhất (\(\alpha \in [0;\pi ]\)) thì \(\cos \alpha \) phải nhỏ nhất.

\( \Rightarrow \) Mẫu số phải lớn nhất.

Xét hàm số \(f(x) = (20x + 40.96)(470.56 - 20x)\) trên đoạn [0; 20].

Đây là tam thức bậc hai dạng \( - 400{x^2} + \ldots \), đạt cực đại tại đỉnh parabol:

\(x = \frac{{ - (40.96 \cdot ( - 20) + 470.56 \cdot 20)}}{{2 \cdot ( - 400)}} \approx 10.74\)

f'(x)=0\().Thay\)\(x \approx 10.74\) vào biểu thức \(\cos \alpha \), ta được:

\(\cos {\alpha _{min}} \approx 0.210\)

$\Rightarrow {\alpha }_{max}\approx \arccos \left(0.210\right)\approx {77.87}^{°}$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\alpha \approx {78}^{°}$

Đáp án cần điền là: 78