Trong công nghệ ô tô điện (EV), Hệ thống Quản lý Pin (BMS) của xe sẽ tự động điều chỉnh dòng điện để bảo vệ tuổi thọ pin. Một trạm sạc DC siêu nhanh có công suất truyền vào pin P(t) (kW) theo

Hàm công suất sạc là: \(P(t) = 250 \cdot {e^{ - kt}}\) (với \(k > 0\), \(t \ge 0\)).

a) Công suất sạc ban đầu ngay khi cắm sạc là 250 kW.

Thời điểm ban đầu ứng với \(t = 0\).

Thay vào hàm số: \(P(0) = 250 \cdot {e^{ - k \cdot 0}} = 250 \cdot 1 = 250\) (kW).

a) Đúng.

b) Tốc độ thay đổi công suất tại thời điểm \(t\) là \({P^\prime }(t) = 250k \cdot {e^{ - kt}}\).

Tốc độ thay đổi công suất chính là đạo hàm của hàm \(P(t)\) theo biến \(t\).

Ta có: \({P^\prime }(t) = {(250 \cdot {e^{ - kt}})^\prime } = 250 \cdot ( - k) \cdot {e^{ - kt}} =  - 250k \cdot {e^{ - kt}}\).

Dấu trừ thể hiện công suất đang giảm dần. Trong biểu thức của phát biểu b thiếu dấu trừ hoặc chưa làm rõ đây là độ sụt giảm.

 b) Sai

c) Công suất sạc giảm dần theo thời gian và \(k = 2,5\).

Tại \(t = 0\), tốc độ sụt giảm công suất là 625 kW/giờ nên \(|{P^\prime }(0)| = 625\).

Ta có: \(| - 250k \cdot {e^{ - k \cdot 0}}| = 625 \Rightarrow 250k = 625 \Rightarrow k = \frac{{625}}{{250}} = 2,5\).

c) Đúng.

d) Thời gian từ lúc bắt đầu cắm sạc đến khi hệ thống tự ngắt kéo dài không quá 111 phút.

Hệ thống ngắt khi công suất giảm còn 1% so với ban đầu: \(P(t) = 1\%  \cdot P(0) = 0,01 \cdot 250 = 2,5\) (kW).

Thay vào phương trình với \(k = 2,5\):

\(250 \cdot {e^{ - 2,5t}} = 2,5\)\( \Leftrightarrow {e^{ - 2,5t}} = \frac{{2,5}}{{250}} = 0,01\)\( \Leftrightarrow  - 2,5t = \ln (0,01)\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln (0,01)}}{{ - 2,5}} \approx 1,842\) (giờ).

Đổi sang phút: \(1,842 \cdot 60 \approx 110,52\) phút.

Vì \(110,52 < 111\) phút