Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 5m

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(A \equiv O(0;0;0)\). Các tia \(Ax\), \(Ay\), \(Az\) lần lượt trùng với các cạnh \(AB\), \(AD\), \(AA'\).

Từ kích thước đề bài, ta xác định được tọa độ các điểm:\(A(0;0;0)\), \(B(5;0;0)\), \(D(0;5;0)\), \(A'(0;0;6)\), \(C(5;5;0)\), \(C'(5;5;6)\), \(D'(0;5;6)\), \(B'(5;0;6)\)

Điểm \(M\) là trung điểm của \(CC'\) nên \(M(5;5;3)\).

Điểm \(I\) là tâm của mặt bên \(ABB'A'\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB'\)\( \Rightarrow I(2,5;0;3)\)

Xác định các vectơ chỉ phương:

Con nhện thứ nhất (\(E\)) di chuyển trên đoạn \(AM\), con nhện thứ hai (F) di chuyển trên đoạn \(D'I\). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai con nhện chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai đoạn thẳng chéo nhau \(AM\) và \(D'I\).

·        Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AM\): \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {AM} = (5;5;3)\).

·        Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(D'I\): \(\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {D'I} = \left( {\frac{5}{2}; - 5; - 3} \right)\).

Để tính toán gọn hơn, ta chọn vectơ cùng phương: \(\vec v = 2\overrightarrow {{u_2}} = (5; - 10; - 6)\).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({\Delta _1}\) (qua \(A\), vtcp \(\overrightarrow {{u_1}} \)) và \({\Delta _2}\) (qua \(D'\), vtcp \(\vec v\)):

\([\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v] = \left( {0;45; - 75} \right)\), \(A(0;0;0),D'(0;5;6) \Rightarrow \overrightarrow {AD'} = (0;5;6)\)

\(d(AM,D'I) = \frac{{|[\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v] \cdot \overrightarrow {AD'} |}}{{|[\overrightarrow {{u_1}} ,\vec v]|}} = \frac{{15}}{{\sqrt {34} }} \approx 2,57\).

Đáp án: 2,57