Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Đúng.

Ta có: \(\int\limits_1^2 {{x^2}}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{1^3}}}{3} = \frac{7}{3}\).

b) Sai.

Với \(m\) là tham số, ta có \(\int\limits_0^2 {\left( {4{x^3} + m} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {{x^4} + mx} \right)} \right|_0^2 = 16 + 2m\).

Mà \(\int\limits_0^2 {\left( {4{x^3} + m} \right){\rm{d}}x}  = 4\) nên \(16 + 2m = 4 \Leftrightarrow m =  - \,6\).

c) Đúng.

Ta có: \(\int\limits_1^2 {\left( {\pi {x^5} + e{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\frac{{\pi {x^6}}}{6} + \frac{{e{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{2^6} - {1^6}}}{6}} \right) + e\left( {\frac{{{2^3} - {1^3}}}{3}} \right) + 2 - 1 = \frac{{21\pi }}{2} + \frac{{7e}}{3} + 1\).

Mà \(\int\limits_1^2 {\left( {\pi {x^5} + e{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = m\pi  + ne + p\) nên \(m = \frac{{21}}{2},\,\,n = \frac{7}{3},\,\,p = 1\)\( \Rightarrow 2m - 3n + p = 21 - 7 + 1 = 15\).

d) Sai.

Ta có: hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số bậc hai nên \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị đi qua các điểm \(\left( {0;3} \right),\,\,\left( {2; - \,1} \right),\,\,\left( {1;0} \right),\,\,\left( {3;0} \right)\).

Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 3\\4a + 2b + c =  - \,1\\a + b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \,4\\c = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\).

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_3^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1\)

                                                  \( + \,\,\,\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{{20}}{3} = 8\).