GT

Hình thang cân \(MNPQ\), \(MN\,{\rm{//}}\,PQ\), \(\widehat {P\,} = \widehat {Q\,} = 45^\circ ,\)

\(MI \bot PQ\) tại \[I,\] \(IK = QI\), \(K \in PQ\), \[QH\,{\rm{//}}\,MK,\]

\[QH\] cắt \[MI\] tại \[H.\]

KL

a) \[MNPK\] là hình bình hành.

b) \(MQHK\) là hình gì? Vì sao?

Cho hình thang cân MNPQ có MN song song với PQ , góc P = góc Q = 45 độ (ảnh 1)

a) Xét tam giác \(\Delta MQI\) và \(\Delta MKI\) có:

QI = KI (giả thiết); \(\widehat {MIQ} = \widehat {MIK} = 90^\circ \) (giả thiết); \[MI\] cạnh chung.

Do đó: \[\Delta MQI = \Delta MKI\] (c.g.c).

Suy ra: \(\widehat {MQI} = \widehat {MKI}\)(hai góc tương ứng). Hay \(\widehat {MQP} = \widehat {MKQ}\)

Lại có \(\widehat {MQP} = \widehat {NPQ}\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân).

Suy ra: \(\widehat {MKQ} = \widehat {NPQ}\).

Mà \(\widehat {MKQ};{\rm{ }}\widehat {{\rm{ }}NPQ}\) nằm ở vị trí đồng vị, suy ra: \[MK\,{\rm{//}}\,NP\] (dấu hiệu nhận biết).

Xét tứ giác \[MNPK\] có: \[MN{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,PK,{\rm{ }}MK\,{\rm{//}}\,{\rm{ }}NP\] nên \[MNPK\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Xét tam giác \(\Delta QIH\) và \(\Delta KIM\) có:

\(\widehat {MIQ} = \widehat {MIK} = 90^\circ \) (giả thiết); \[QI = KI\] (giả thiết); \(\widehat {HQI} = \widehat {MKI}\) (hai góc so le trong, \[QH\,{\rm{//}}\,MK).\]

Do đó: \(\Delta QIH = \Delta KIM\) (g.c.g). Suy ra: \[IH = IM\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[MQHK\] có hai đường chéo \[MH\] và \[QK\] cắt nhau tại trung điểm \[I\] của mỗi đường nên \[MQHK\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mặt khác, tam giác \[MQK\] có \(\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 45^\circ ,\) \[MQ = MK\] nên tam giác \[MQK\] vuông cân tại \[M,\] hay \(\widehat {QMK} = 90^\circ .\)

Hình bình hành \[MQHK\] có \(\widehat {QMK} = 90^\circ \) nên \[MQHK\] là hình chữ nhật (dấu hiệu nhân biết).

Hình chữ nhật \[MQHK\] có \[MQ = MK\] nên \[MQHK\] là hình vuông (dấu hiệu nhận biết).

Trong các hình sau, tứ giác nào là hình vuông