Trong các dãy số un sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn

4/16

Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

\[{u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \].

\[{u_n} = n + \frac{1}{n}\].

\[{u_n} = {2^n} + 1\].

\[{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\]

Giải thích

Chọn D

Dãy số \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) bị chặn vì \(0 < \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).

Lại có:

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{n^2} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) = + \infty \];

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{2^n} + 1} \right) = + \infty \];

\[ + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = + \infty \].

Nên các dãy số \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} ,{u_n} = {2^n} + 1,{u_n} = n + \frac{1}{n}\) không bị chặn trên, suy ra các dãy số này không bị chặn.