Trong các dãy số (u n) được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

12/22

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

\({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)

\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\sin n,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)

\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)

\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\)

Giải thích

Xét dãy số ở phương án C: \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right)\).

Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) thì \(2n\) luôn là số chẵn, do đó \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {5^n} + 1\).

Ta thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{5^{n + 1}} + 1} \right) - \left( {{5^n} + 1} \right) = 4 \cdot {5^n} > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Vậy đây là dãy số tăng.

Đáp án: C.