Trong các dãy số ( u n ) cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

16/39

Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?

\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]

\[{u_n} = \frac{1}{n}.\]

\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}.\]

\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}.\]

Giải thích

Chọn D

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\], có \[{u_2} - {u_1} = \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^1}}} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{1}{n}\], có \[{u_2} - {u_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\], có \[{u_2} - {u_1} = 1 - \frac{6}{4} < 0 \Rightarrow \]Dãy không tăng.

Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\], có

\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2 - \frac{3}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( {2 - \frac{3}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{n + 1}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{3}{{(n + 1)(n + 2)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]

Vậy dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] tăng.