Trong các dãy số ( u n ) cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Chọn C

·      Xét un=1n, ta có un+1−un=1n+1−1n=n−n−1n(n+1)=−1n(n−1)<0∀n∈N. Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{n}\] là dãy số giảm.

·      Xét \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + 5}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}} = \frac{{n + 6}}{{3n + 4}} - \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(n + 6)(3n + 1) - (n + 5)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\\ = \frac{{3{n^2} + 19n + 6 - 3{n^2} - 19n - 20}}{{9{n^2} + 15n + 4}} = \frac{{ - 14}}{{9{n^2} + 15n + 4}} < 0 & \forall n \in \mathbb{N}\end{array}\)

Suy ra \[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\] là dãy số giảm.

·      Xét \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}},\] ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2(n + 1) - 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}}{{(n + 2)(n + 1)}}\\ = \frac{{2{n^2} + 3n + 1 - 2{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + 3n + 2}} = \frac{3}{{{n^2} + 3n + 2}} > 0 & \forall n \in N.\end{array}\)

 Suy ra \[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\] là dãy số tăng.

·      Xét \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\] ta có un+1un=12n+1:12n=2n2n+1=12<1∀n∈N. Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\] là dãy số giảm.