Trong các dãy số ( u n ) cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là dãy số giảm?

24/38

Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số giảm?

\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]

\[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}.\]

\[{u_n} = {n^2}.\]

\[{u_n} = \sqrt {n + 2} .\]

Giải thích

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Xét A: ${2^n}$ là dãy dương và tăng nên $\frac{1}{{{2^n}}}$ là dãy giảm chọn A

Xét B: $u_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 1} \overset{}{\to} \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{2} = \frac{5}{3} \end{cases} \overset{}{\to} u_{1} < u_{2} \overset{}{\to}$ loại B

Hoặc ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{3n + 2}}{{n + 2}} - \frac{{3n - 1}}{{n + 1}} = \frac{4}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

Xét C: $u_{n} = n^{2} \overset{}{\to} u_{n + 1} - u_{n} = {(n + 1)}^{2} - n^{2} = 2 n + 1 > 0 \overset{}{\to}$ loại C

Xét D: $u_{n} = \sqrt{n + 2} \overset{}{\to} u_{n + 1} - u_{n} = \sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 2} = \frac{1}{\sqrt{n + 3} + \sqrt{n + 2}} > 0 \overset{}{\to}$ loại D