Đáp án: 40

$Suy ra vectơ pháp tuyến cCho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông \(AB (ảnh 2)$

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc \(O\) trùng với đỉnh \(B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\)của hình vuông. Các tia \(BC\) và

\(BA\) lần lượt nằm trên các trục \(Ox\) và \(Oy\).

Các đỉnh của hình vuông có tọa độ: \(B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {8\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,8\,;\,0} \right)\), và \(D\left( {8\,;\,8\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) chính là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)có phương trình \(z = 0\), với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\)

Nửa đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \({O_1}\left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 4\).

Điểm \(P\) chia cung thành 3 đoạn bằng nhau và nằm gần \(B\), nên góc \(\widehat {P{O_1}B} = 60^\circ \).

Gọi \(P'\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên đường thẳng \(AB\).

Khoảng cách \({O_1}P' = R\cos 60^\circ = 4.\frac{1}{2} = 2\). Từ đó suy ra \(P'\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right)\)

Khoảng cách từ \(P\) đến \(AB\) trên mặt phẳng là \(P'P = R\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 \).

Sau khi gấp: Điểm \(P\) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thành điểm \(G\). Do đó, \(G\) phải nằm trên đường thẳng đi qua \(P'\) và vuông góc với trục \(AB\) . Nghĩa là \(G\) có tọa độ dạng \(\left( {{x_G}\,;\,2\,;\,0} \right)\). Vì \(G\) nằm trong hình vuông nên \({x_G} > 0\)

Xét tam giác vuông \(PP'G\) vuông tại \(G\), ta có:

\(P'G = \sqrt {P'{P^2} - P{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 3\)

Từ đó suy ra \({x_G} = 3\), \(G\left( {3\,;\,2\,;\,0} \right)\) Do \(PG = \sqrt 3 \), tọa độ \(P\left( {3\,;\,2\,;\,\sqrt 3 } \right)\).

Nửa đường tròn đường kính \(CD\) có tâm \({O_2}\left( {8\,;\,4\,;0} \right)\) và bán kính \(R = 4\). Vì điểm \(Q\) chia đôi cung \(CD\) nên \(Q\) nằm ở đỉnh của nửa đường tròn. Hình chiếu của \(Q\) lên \(CD\) chính là tâm \({O_2}\). Khoảng cách từ \(Q\) đến \(CD\) là \({O_2}Q = R = 4\)

Tương tự như trên, điểm \(Q\) chiếu vuông góc xuống \(ABCD\) thành \(H\), do đó \(H\) nằm trên đường thẳng qua \({O_2}\)và vuông góc với \(CD\) . Do đó \(H\) có tọa độ dạng \(\left( {{x_H}\,;\,4\,;\,0} \right)\). Vì nằm trong hình vuông nên \({x_H} < 8\).

Xét tam giác vuông \(Q{O_2}H\) vuông tại \(H\), ta có: \({O_2}H = \sqrt {{O_2}{Q^2} - Q{H^2}} = 2\).

Vì khoảng cách \({O_2}H = 2\) và \(H\) nằm bên trong hình vuông nên \({x_H} = 8 - 2 = 6\).

Ta được \(H\left( {6\,;\,4\,;\,0} \right)\)

Do \(QH = 2\sqrt 3 \) ta có tọa độ \(Q\left( {6\,;\,4\,;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Mặt phẳng $(P C Q) : \vec{n} = [\vec{C P}; \vec{C Q}] = (0; 8 \sqrt{3}; - 16)$

Chọn vecto pháp tuyến của \(\left( {PCQ} \right)\): $(0; \sqrt{3}; - 2)$

Góc \(\theta \) giữa mặt phẳng \(\left( {PCQ} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\):

\(\cos \theta = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\).

Khi đó \({\cos ^2}\theta = \frac{4}{7}\). Vậy \(70{\cos ^2}\theta = 40\).

Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân?