Trong các biểu thức sau, biểu thức nào luôn nhận giá trị dương:

10/20

\(A = {x^2} - x - 6.\)

\(B = {x^2} + x - 2.\)

\(C = {x^2} - x + 1.\)

\(D = {x^2} + 6x - 1.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

• \(A = {x^2} - x - 6 = {x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 6 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\).

Nhận thấy \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4} \ge - \frac{{25}}{4}\) hay \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{25}}{4}\).

Do đó, đáp án A loại.

• \(B = {x^2} + x - 2 = {x^2} + 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4}\).

Nhận thấy \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{9}{4} \ge - \frac{9}{4}\) hay \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{9}{4}\).

Do đó, đáp án B loại.

• \(C = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\).

Nhận thấy \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) hay \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\).

Do đó, đáp án C là đúng.

• \(D = {x^2} + 6x - 1 = {x^2} + 2 \cdot 3x + {3^2} - 1 - {3^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} - 10\).

Nhận thấy \({\left( {x + 3} \right)^2} - 10 \ge - 10\) hay \(D\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\).

Do đó, đáp án D loại.