Trong bộ môn billiards 9 bóng (các bóng được đánh số từ 1 đến 9) có 3 quả bóng mục tiêu là 1, 4 và 8. Cơ thủ X chọn ngẫu nhiên 3 quả, sau đó cơ thủ Y chọn ngẫu nhiên 3 quả từ các quả còn lại.
21/22
Trong bộ môn billiards \(9\) bóng (các bóng được đánh số từ \(1\) đến \(9\)) có \(3\) quả bóng mục tiêu là \(1,\,4\) và \(8\). Cơ thủ X chọn ngẫu nhiên \(3\) quả, sau đó cơ thủ Y chọn ngẫu nhiên \(3\) quả từ các quả còn lại. Biết rằng sau khi chọn, cơ thủ X đang có lợi thế hơn cơ thủ Y (tức là số bóng mục tiêu của X nhiều hơn của Y). Hãy tính xác suất để cơ thủ Y không giữ bất kỳ quả bóng mục tiêu nào (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \(x;\,y\) lần lượt là số bóng mà cơ thủ X và Y chọn được
Tổng số bóng mục tiêu tối đa là \(3\) bóng nên ta có \(x + y \le 3\)
Do cơ thủ X đang có lợi thế hơn cơ thủ Y nên số bóng mục tiêu của X nhiều hơn của Y
Khi đó ta có điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 3\\x > y\end{array} \right.\) nên ta có thể liệt kê các trường hợp thỏa mãn
Trường hợp 1: \(x = 1;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(1\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(2\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^1.C_6^2 = 45\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(4\) bóng có \(C_4^3 = 4\) cách chọn
Vậy có tổng cộng \({n_1} = 45.4 = 180\)(cách)
Trường hợp 2: \(x = 2;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(2\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(1\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^2.C_6^1 = 18\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(5\) bóng có \(C_5^3 = 10\) cách chọn
Vậy có tổng cộng \({n_2} = 18.10 = 180\)(cách)
Trường hợp 3: \(x = 2;\,y = 1\)
Cơ thủ X chọn: \(2\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(1\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_3^2.C_6^1 = 18\) cách
Cơ thủ Y chọn: \(1\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng và \(2\) bóng thường trong \(5\) bóng có số cách chọn là \(C_3^1.C_5^2 = 10\) cách
Vậy có tổng cộng \({n_3} = 18.10 = 180\)(cách)
Trường hợp 4: \(x = 3;\,y = 0\)
Cơ thủ X chọn: \(3\) bóng mục tiêu trong \(3\) bóng có số cách chọn là 1 cách
Cơ thủ Y chọn: \(3\) bóng thường trong \(6\) bóng có số cách chọn là \(C_6^3 = 20\) cách
Vậy có tổng cộng \({n_4} = 20\)(cách)
Vậy tổng số trường hợp thỏa mãn X lợi thế hơn Y là: \(n\left( \Omega \right) = 180 + 180 + 180 + 20 = 560\) cách
Theo yêu cầu bài toán, cơ thủ Y không giữ bất kỳ quả bóng mục tiêu nào tức \(y = 0\)
Khi đó \(n\left( A \right) = 180 + 180 + 20 = 380\) cách
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{380}}{{560}} = \frac{{19}}{{28}} = 0,67857... \approx 0,68\)