Trong bảng thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A
22/22
Trong bảng thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư thiết kế các trụ điện cao \(120\)\({\rm{m}}\). Để giữ thăng bằng cho trụ điện, người ta kéo dây cáp nối từ đỉnh trụ \(S\) xuống mặt đất tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm tiếp đất bằng \(40\sqrt 3 \)\({\rm{m}}\). Tuy nhiên trong thực tế, do sườn núi dốc \(10^\circ \) so với mặt biển nên vị trí tiếp đất của dây cáp tại \(A\), \(B'\), \(C'\) (\(BB'\), \(CC'\) song song thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O\) trùng với chân trụ điện, \(\left( {Oxy} \right)\) song song với mặt biển, \(A\) thuộc tia \(Oy\), trục \(Oz\) hướng lên trên.
Khi đó, tổng độ dài của ba dây cáp \(SA\), \(SB'\), \(SC'\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 416.
Đặt hệ trục như đề bài, ta có: chân trụ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đỉnh trụ \(S\left( {0;0;120} \right)\).
Do \(A,B,C \in \left( {Oxy} \right)\) và \(OA = OB = OC = 40\sqrt 3 \) nên \(A\left( {0;40\sqrt 3 ;0} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},0} \right)\), \(C\left( {{x_C},{y_C},0} \right)\).
Lại có: \(A \in Oy\) và \(O\) là tâm \(\Delta ABC\) nên \(B\), \(C\) đối xứng nhau qua hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_B} = - {x_C}\\y = {y_B} = {y_C}\end{array} \right.\).
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm: \({y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_O} \Rightarrow 2y = - 40\sqrt 3 \Rightarrow y = - 20\sqrt 3 \).
Mà \(OB = 40\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} + {\left( { - 20\sqrt 3 } \right)^2} = 4800 \Rightarrow x = 60\) hay \(B\left( {60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\) và \(C\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\).
\({z_{B'}} = - BB' = - 60.\tan {10^0} \Rightarrow \)\(B'\left( {60; - 20\sqrt 3 ; - 60 \times \tan 10^\circ } \right)\),
Tương tự: \(C'\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;60 \times \tan 10^\circ } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \sqrt {{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2} + {{120}^2}} \\SB' = \sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 + 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \\SC' = \sqrt {{{60}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 - 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \end{array} \right. \Rightarrow SA + SB' + SC' \approx 415,8949\).
Vậy tổng độ dài của ba dây cáp \(SA\), \(SB'\), \(SC'\) xấp xỉ \(416\)\({\rm{m}}\).