Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao 120 m. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh t
21/22
Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao \[120{\rm{m}}{\rm{.}}\] Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh trụ \[S\]xuống mặt đất giả định tại các điểm \[A,B,C\] trên mặt phẳng nằm ngang sao cho \[S.ABC\] là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm \[A,B,C\] bằng \[40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}\] Tuy nhiên, do địa hình thực tế là sườn núi dốc \[10^\circ \] so với mặt phẳng nằm ngang nên vị trí tiếp đất thực tế của dây cáp sẽ tại \[A,B',C'\] \[(BB',CC'\] song song với thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) với \[O\] trùng với chân trụ điện, mặt phẳng \[Oxy\] trùng với mặt phẳng thiết kế nằm ngang, điểm \[A\] thuộc tia \[Oy,\] trục \[Oz\] hướng lên trên.
Khi đó, tọa độ các điểm \(B'({x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}),C'({x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}).\) Giá trị \(|{z_{B'}} - {z_{C'}}|\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Đáp án: 21.
Vì \(Oxy \equiv (ABC),A \in Oy,\Delta ABC\) đều nên trung điểm \(D\) của \(BC\) thuộc \(Oy\).
Ta có, tam giác \(ABC\) đều và \(OA = 40\sqrt 3 \) nên
\(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BC = 120 \Rightarrow BD = \frac{{BC}}{2} = 60 \Rightarrow BB' = BD.\tan 10^\circ = 60\tan 10^\circ .\)
Vì \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\) và \(A \in Oy\) nên
\(A(0;40\sqrt 3 ;0) \Rightarrow D(0; - 20\sqrt 3 ;0) \Rightarrow B(60; - 20\sqrt 3 ;0);C( - 60; - 20\sqrt 3 ;0).\)
Do đó, ta có
\(B'(60; - 20\sqrt 3 ; - 60\tan 10^\circ );C( - 60; - 20\sqrt 3 ;60\tan 10^\circ ) \Rightarrow |{z_{B'}} - {z_{C'}}| = 120\tan 10^\circ \approx 21{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Cách khác
Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Vì \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) và
\(OA = 40\sqrt 3 = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BC = 120 \Rightarrow BD = 60{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Như vậy, theo đề bài ta có \(BB' = CC' = BD.\tan 10^\circ = 60.\tan 10^\circ .\)
Mặt khác, \(BB',CC'\) đều song song với \(Oz\) nên
\(|{z_{B'}} - {z_{c'}}| = BB' + CC' = 2BB' = 120.\tan 10^\circ \approx 21.\)