Trên trục tọa độ (O; i )  cho 4 điểm A,B,C,D bất kỳ. Chứng minh vectơ  AB. vectơ CD+vectơ AC. vectơ DB+vectơ AD.

Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.

Ta có AB¯.CD¯=b−ad−c=bd+ac−bc−ad

AC¯.DB¯=c−ab−d=bc+ad−cd−abAD¯.BC¯=d−ac−b=cd+ab−ac−bd

Cộng vế với vế lại ta được AB¯.CD¯+AC¯.DB¯+AD¯.BC¯=0

Cách 2: AB¯.CD¯+AC¯.DB¯+AD¯.BC¯=

AB¯.AD¯−AC¯+AC¯.AB¯−AD¯+AD¯.AC¯−AB¯=AB¯.AD¯−AB¯.AC¯+.AC¯.AB¯−AC¯.AD¯+AD¯.AC¯−AD¯.AB¯=0