Trên parabol ( P ) : y = x^2 , ta lấy hai điểm A ( − 1 ; 1 ) và B ( 3 ; 9 ) . Xác định điểm C trên cung nhỏ AB của ( P ) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Giả sử \(C\left( {c;{c^2}} \right)\) thuộc \((P)\) với \( - 1 < c < 3\).

Gọi \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) là hình chiếu của \(A,\;B\) và \(C\) xuống trục \(Ox\) Ta có:

\({S_{A{A^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + B{B^\prime }} \right){A^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{(1 + 9).4}}{2} = 20\),

\({S_{A{A^\prime }{C^\prime }C}} = \frac{{\left( {A{A^\prime } + C{C^\prime }} \right){A^\prime }{C^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {1 + {c^2}} \right) \cdot (1 + c)}}{2}\),

\({S_{C{C^\prime }{B^\prime }B}} = \frac{{\left( {C{C^\prime } + B{B^\prime }} \right){C^\prime }{B^\prime }}}{2} = \frac{{\left( {9 + {c^2}} \right) \cdot (3 - c)}}{2}\).

Suy ra SABC=SAA'B'B−SCC'B'B−SAA'C'C=6−2c2+4c=8−2(c−1)2⩽ 8.