Trên một khu vườn hình vuông ABCD có diện tích là 100 m^2, người ta xác định phần diện tích trồng hoa như sau: Lấy một điểm H trên đường chéo AC, dựng hình chiếu của H trên AB và BC lần lượt

9/9

(0,5 điểm) Trên một khu vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích là $100\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, người ta xác định phần diện tích trồng hoa như sau: Lấy một điểm $H$ trên đường chéo $AC$, dựng hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $BC$ lần lượt là $M$ và $N$. Phần diện tích trong hoa là tam giác $DMN$. Hỏi điểm $H$ nằm vị trí nào trên $AC$ thì diện tích trồng hoa sẽ là nhỏ nhất. Và diện tích đó bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy điểm $H$ nằm trên $AC$ cách $A$ (ảnh 1)$

Đặt $AM = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có ${S_{ABCD}} = 100{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$ nên $AB = BC = CD = DA = 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Do đó $BM = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Tứ giác $BMHN$ có $\widehat B = \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ $ nên tứ giác $BMHN$ là hình chữ nhật.

Do đó $HM = BN = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$, $MB = HN = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC$ là phân giác $\widehat {BAC}$, $CA$ là phân giác $\widehat {BCD}$

Suy ra $\widehat {MAH} = \widehat {NCD} = 45^\circ $

Do đó $\Delta MAH$ vuông cân tại $M$ và $\Delta NHC$ vuông cân tại $N$

Suy ra $MH = MA = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$, $NH = NC = 10 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có \[{S_{DMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMD}} + {S_{BMN}} + {S_{CND}}} \right)\]$ = 100 - \frac{1}{2}\left( {AM.AD + BM.BN + CN.CD} \right)$

$ = 100 - \frac{1}{2}\left[ {10x + \left( {10 - x} \right)x + 10\left( {10 - x} \right)} \right]$$ = 100 - \frac{1}{2}\left( {10x + 10x - {x^2} + 100 - 10x} \right)$

$ = 100 - \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 10x + 100} \right)$$ = \frac{1}{2}{x^2} - 5x + 50$$ = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 10x + 100} \right)$$ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right]$

Vì ${\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0$

${\left( {x - 5} \right)^2} + 75 \ge 75$

$\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 75} \right] \ge \frac{{75}}{2}$

${S_{DMN}} \ge \frac{{75}}{2}$

Dấu xảy ra khi $x = 5$

Vậy giá trị nhỏ nhất của ${S_{DMN}} = \frac{{75}}{2}$ khi $x = 5$

Hay $AM = 5{\rm{ m}}$

Xét $\Delta AMH$ vuông tại $H$ nên $AH = \sqrt {M{A^2} + M{H^2}} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 {\rm{ m}}$

Vậy điểm $H$ nằm trên $AC$ cách $A$ một đoạn bằng $5\sqrt 2 {\rm{ m}}$ thì diện tích phần trồng hoa $DMN$ là nhỏ nhất và bằng $\frac{{75}}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.