Trên một khu vườn hình tròn tâm O có bán kính OI=y (mét), bác Cường dự định xây một cái hồ hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O như hình vẽ. Biết ba điểm I,A,O thẳng hàng
5/8
Trên một khu vườn hình tròn tâm \(O\) có bán kính \(OI = y\) (mét), bác Cường dự định xây một cái hồ hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) như hình vẽ. Biết ba điểm \(I,\,\,A,\,\,O\) thẳng hàng và \(IA = x\) (mét) với \(0 < x < y\).
(a) Viết biểu thức tính diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ theo \(x\) và \(y\).
(b) Giả sử diện tích phần còn lại của khu vườn là \[464,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] (lấy giá trị \(\pi \approx 3,14\)) và \(IA = 4\) m. Tìm bán kính khu vườn khi đó.
a) Ta có \(OA = y - x\) nên diện tích hình vuông \(ABCD\) là:
\(\frac{1}{2}{\left( {y - x} \right)^2} \cdot 4 = 2{\left( {y - x} \right)^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Vậy diện tích trồng cỏ là \(S = \pi {y^2} - 2{\left( {y - x} \right)^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\) (*)
b) Thay \(S = 464,5\) và \(x = 4\) vào công thức (*), ta được:
\(464,5 = 3,14{y^2} - 2{\left( {y - 4} \right)^2}\)
\(1,14{y^2} + 16y - 496,5 = 0\)
Giải phương trình, ta được \(y = \frac{{ - 1655}}{{57}}\) (loại) và \(y = 15\) (nhận).
Vậy bán kính khu vườn khi đó là \(15{\rm{ m}}.\)