Trên một đoạn đường giao thông có hai con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường Ox là 216 m và cách đường Oy là 1 km.

Ta có hình vẽ minh họa như sau

Kí hiệu như hình vẽ

Ta được \[MI = 216\left( m \right)\];

\[MN = 1\left( {km} \right) = 1000m\]

Đặt: \[AM = x\,\left( m \right)\left( {x > 216} \right)\]

Áp dụng định lí Pytgagore trong tam giác vuông \[AMI\], ta có

\[AI = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \left( m \right)\]

Nhận thấy , nên

    \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}}\] suy ra \[\frac{{AI}}{{MN}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Rightarrow BM = \frac{{MN.AM}}{{AI}} = \frac{{x.1000}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Lúc này để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất, tức là \[AB\]có độ dài ngắn nhất .

Ta có \[AB = x + \frac{{1000x}}{{\sqrt {{x^2} - {{216}^2}} }}\]

Đặt \[a = \sqrt {{x^2} - {{216}^2}} \Rightarrow x = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} \], Khi đó

\[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]

\[\,\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} = \sqrt {({a^2} + {{216}^2})\left( {\frac{{25}}{{34}} + \frac{9}{{34}}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)}^2}} = \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

Do đó \[AB = \sqrt {{a^2} + {{216}^2}} + \frac{{1000\sqrt {{a^2} + {{216}^2}} }}{a}\]s

\[\, \ge \left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right) + \frac{{1000}}{a}\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }}} \right)\]

\[ = \frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\]

\[ \ge \frac{{216.3}}{{\sqrt {34} }} + \frac{{1000.5}}{{\sqrt {34} }} + 2\sqrt {\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }}.\frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}} \approx 1586\](m)

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{216.5}}{{\sqrt {34} }}.\\\frac{{5a}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{1000.216.3}}{{a\sqrt {34} }}\end{array} \right.\] nên \[a = 360\]

Với \[a = 360 \Rightarrow x = \sqrt {{{360}^2} + {{216}^2}} = 72\sqrt {34} \]

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \[S \approx \frac{{1586}}{{100}}.200 \approx 3,172\](tỉ đồng).

Khi đó điểm \(A\) cách \(M\) một khoảng \[72\sqrt {34} \,\,m\]

0,25

0,25