Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB , AD , với AB = 2 AD = 4 cm như hình vẽ. Cho biết ˆ BAC = 30 ∘ . Hình phẳng ( H ) là phần tô đậm nằm giữa hai nửa đường tròn, đường t

Đáp án: 192.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(D\) bán kính \(AD = 2\,cm\) thì ta có phương trình cung \(ACB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Gọi \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(AI = 1\,cm\) thì ta có phương trình đường cong \(AMD\) là \(y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \).

Đường thẳng \(\left( d \right)\) \(AMC\) có phương trình \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\)

Ta có hoành độ giao điểm \(M\) là giao của \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là nghiệm phương trình

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 1\)\( \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).

Hoành độ điểm \(\left( C \right)\) là giao điểm cuar \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow x = 3\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\({V_1} = \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2}dx - \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} } \right)}^2}dx = \frac{{11\pi }}{{36}}} } \)

\({V_2}\)\( = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2} = \frac{{19\pi }}{9}} \)

\({V_3} = \pi \int\limits_3^4 {\left( {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right) = \frac{{5\pi }}{3}} \)

Vậy tổng số tiền trả bằng: \(T = \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right).15.000\)\( \approx 192\) nghìn VNĐ.