Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^3 + 3x^2 − 6x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 và cắt hai trục tọa độ tại A , B . Tính diện tích tam giác OAB

1/50

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng 1 và cắt hai trục tọa độ tại \(A,\,\,B\). Tính diện tích tam giác \(OAB\) (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6;\,\,y\left( 1 \right) = {1^3} + 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 1 = - 1\); \(y'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} + 6 \cdot 1 - 6 = 3\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(y = 3x - 4\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y = - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \frac{4}{3}\) nên \(B\left( {\frac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67\).

Đáp án cần nhập là: \(2,67\).